Pengenalan Bentuk Aljabar dan Sifat-sifatnya pada Operasi Bilangan

 

Aljabar adalah cabang matematika yang menggunakan simbol (biasanya huruf) untuk mewakili bilangan dan operasi matematika (seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) untuk menyelesaikan masalah. Aljabar memungkinkan kita untuk membuat rumus dan persamaan yang lebih umum, serta memanipulasi ekspresi matematika dengan cara yang flesksibel.

• Aljabar menggunakan simbol, seringkali huruf seperti x, y, atau z, untuk mewakili nilai yang belum diketahui atau yang bisa berubah-ubah. Simbol-simbol ini disebut variabel.
• Gabungan beberapa variabel dan konstanta pada operasi matematika membentuk ekspresi aljabar, misalnya 3x+5y–8.
• Selain operasi dasar aritmetika, aljabar juga melibatkan operasi seperti pangkat, akar, dan fungsi.
• Aplikasi aljabar digunakan dalam berbagai bidang, termasuk sains, teknik, ekonomi, dan komputer.

Operasi Pada Bentuk Aljabar

Sifat-sifat pada operasi bilangan:

a.     Sifat Komutatif a + b = b + a a x b = b x a a – b ≠ b – a

b.   Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)

c.    Sifat Distributif a (b + c) = ab + ac a (b – c) = ab – ac -a (b + c) = -ab – ac -a (b – c) = -ab + ac

Bentuk Kuadrat dan Pemfaktoran

Sifat-sifat:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (-a – b)² = a² + 2ab + b²
• (-a + b)² = a² – 2ab + b²
• a² – b² = (a – b) (a + b)

Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a.    Bentuk ax² + bx + c dengan a, b, c ∊ R ; a = 1 ; c = 0

è menjadi x² + bx = x (x + b)

 

b.   Bentuk ax² + bx + c dengan a, b, c ∊ R ; a = 1 ; c ≠ 0

è x² + bx + c = (x + m) (x + n)

m . n = c

m + n = b

 

c.    Bentuk ax² + bx + c dengan a, b, c ∊ R ; a ≠ 1 ; c ≠ 0

Penyelesaian Persamaan Linear

è Persamaan Linear : persamaan yang variabelnya berpangkat satu.

·     Penyelesaian persamaan dengan satu peubah

Contoh : 2x – 3 = 4x – 11

             2x – 4x = -11 + 3

                    -2x = -8

                       x = -8/-2 = 4

·     Penyelesaian persamaan dua peubah

(1)    Metode Eliminasi

(2)    Metode Substitusi

(3)  Metode Grafik 

Untuk tiga metode penyelesaian di atas, dibahas next time, ya.. ^^

Latihan Lomba Lari Marathon

 

Keliling persegi panjang adalah jumlah panjang semua sisi yang mengelilingi bangun persegi panjang. Karena persegi panjang mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang (panjang dan lebar), rumusnya menjadi, keliling = panjang + lebar + panjang + lebar. Atau bisa ditulis, K = 2 x (panjang + lebar).

Dua minggu lagi akan diadakan Lomba Lari Marathon 10 km untuk memperingati Hari Olahraga.

Hadi sudah lama ingin ikut lomba marathon, hanya saja selalu tidak jadi karena Hadi merasa tidak percaya diri. “Mana mampu aku berlari sejauh itu.” Selalu begitu yang dipikirnya. Tapi tidak kali ini. Karena waktu lomba masih agak lama, Hadi ingin mencoba mempersiapkan diri dengan baik. “Tidak perlu juara, yang penting aku berani ikut lomba,” gumamnya untuk menyemangati diri sendiri.

Pak Eko, guru olahraga Hadi berkata, “Untuk mengikuti lomba dengan jarak jauh seperti marathon membutuhkan fisik dan stamina yang kuat. Untuk melatih stamina, harus latihan rutin setiap hari. Sebisa mungkin jangan bolong-bolong.”

Salah satu latihan yang harus dilakukan Hadi untuk mempersiapkan fisiknya adalah dengan lari setiap hari. Awalnya Hadi berlari mengitari lapangan di perumahan. Satu putaran, besoknya ditambah lagi satu putaran, besoknya ditambah lagi satu putaran. Begitu seterusnya Hadi menambah porsi latihannya setiap hari.

“Saya harus latihan lari berapa kilometer setiap harinya, Pak?” tanya Hadi pada Pak Eko.

“Kalau sudah terbiasa, setidaknya sehari diusahakan lari 2 km,” jawab Pak Eko.

“Jarak 2 km harus lari dari mana sampai mana, ya Pak?” Hadi agak bingung untuk bisa menyesuaikan jaraknya.

“Kamu biasa berlari di mana?” tanya Pak Eko.

“Di lapangan perumahan, Pak.”

“Coba kamu cari berapa keliling lapangan perumahan,” sahut Pak Eko. “Kalau nanti sudah ketemu, tinggal dikalikan saja berapa kali kamu harus berlari sampai dapat memenuhi 2 km.”

“Oiya, saya pernah tanya ke Pak Satpam. Lapangan perumahan berbentuk persegi panjang. Untuk ukurannya, panjang 100 meter dan lebar 50 meter.”

“Nah, gampang kalau sudah tahu begitu. Lalu untuk tahu jarak tepi lapangan bagaimana?” tanya Pak Eko lagi.

“Cari kelilingnya ya, Pak. Untuk persegi panjang rumus kelilingnya adalah 2 x (panjang + lebar).” Hadi mulai menghitung, panjang = 100 meter, lebar = 50 meter, maka keliling = 2 x (panjang + lebar) = 2 x (100 + 50) = 2 x 150 = 300 meter.”

Kalau saya mau berlari sejauh 2 km = 2.000 meter, paling tidak saya harus mengelilingi lapangan sebanyak 7 kali, 7 x 300 meter = 2.100 meter. Betul begitu ya, Pak?” tanya Hadi ke Pak Eko.

“Ya, betul. Jadi mulai besok, kamu harus sedikit demi sedikit menambah porsi latihan sampai bisa mengelilingi lapangan perumahan sebanyak 7 kali.”

“Siap, Pak.” Hadi menjawab dengan lantang.

“Semangat berlatih, ya. Tidak akan sia-sia banyak latihan. Badan juga makin bugar dan sehat, kan.” Pak Eko memberi salam tinjunya ke arah Hadi untuk memberi semangat.

Hadi membalas dengan sopan dan tersenyum senang. Hatinya riang dan penuh semangat.

 

***SELESAI***

Luas Kerupuk Tujuhbelasan

 

Tujuhbelasan identik dengan berbagai lomba yang seru dan menyenangkan. Ada tarik tambang, balap karung, membawa kelereng menggunakan sendok, memasukkan pensil ke dalam botol, dan masih banyak lomba-lomba lainnya. Yang jarang sekali ketinggalan dalam setiap lomba tujuhbelasan adalah lomba makan kerupuk. Seru, ramai, kenyang, apalagi kalau bawa nasi dan kecap. Kalian sudah ikut lomba tujuhbelasan apa tahun ini?

Sore nanti akan diadakan lomba makan kerupuk, hari terakhir lomba dalam rangka menyambut HUT Kemerdekaan RI. Kak Siska mendapat tugas membeli kerupuk, lalu menyiapkannya untuk perlombaan.

Sekaleng kerupuk sudah tersedia. Ana mendekati Kak Siska hendak membantu. Karena kebetulan kerupuk yang didapat besarnya tidak sama, Kak Siska meminta tolong Ana untuk memilih kerupuk paling banyak yang sama ukurannya.

Ana mengelompokkan jadi dua terbanyak. Rencananya, kerupuk lebih besar untuk lomba remaja, kerupuk lebih kecil untuk anak-anak.

“Wah, yang ini ukurannya beda sendiri, nih. Harusnya kalau diameternya 10 cm masuk ke kelompok kerupuk ukuran besar, kalau diameternya 7 cm masuk ke kelompok kerupuk kecil,” kata Ana sambil memisahkan kerupuk di tangannya.

“Iseng amat mengukur kerupuk segala,” kata Kak Siska geli melihat tingkah adiknya.

“Lho asyik, Kak. Sambil menyelam, minum air. Sambil memilih kerupuk, belajar matematika,” sahut Ana membalas candaan kakaknya.

“Kalau gitu bisa dicari luas permukaan kerupuknya juga, ya.” Makin iseng Kak Siska menyeletuk.

“Wah, bener banget, Kak. Baiklah aku coba hitung, ah.” Ana mencari selembar kertas dan sebuah pensil.

Kerupuk ini anggap saja bentuknya lingkaran penuh. Rumus luas lingkaran = π x r², jika menghitung menggunakan jari-jari atau r. Jika mau menghitung menggunakan diameter atau d, maka rumus luas lingkaran = ¼ x π x d².

·     Untuk kerupuk besar

Diameter = d = 10 cm

Luas = ¼ x π x d²

          = ¼ x 3,14 x 10 x 10

          = ¼ x 314 = 78,5 cm

·     Untuk kerupuk kecil

Diameter = d = 7 cm

Luas = ¼ x π x d²

          = ¼ x 3,14 x 7 x 7

          = 38,5  cm

“Kan, seru banget,” kata Ana berbinar sambil menunjukkan hasil hitungannya ke Kak Siska.

Kak Siska melihat kertas coretan Ana sambil tersenyum. Adik satu-satunya ini memang suka sekali hitung-hitungan. “Wah, iya. Jadi nanti Ana ikut lomba makan kerupuk yang luasnya 78,5 cm, ya.”

Berdua mereka tertawa lalu bergegas menyelesaikan tugasnya sebelum kerupuk melempem.

 **SELESAI**

Malam Tirakatan Tujuh Belas Agustus

 

Malam Tirakatan adalah tradisi masyarakat Jawa dalam menyambut HUT kemerdekaan yang dilakukan dengan berkumpul di masing-masing RT, RW, atau desa pada 16 Agustus malam. Pada malam tirakatan, para warga menggelar doa dan renungan bersama untuk mengingat perjalanan panjang dalam memperjuangkan dan mempertahankan kemerdekaan RI. Selain itu, masyarakat juga memohon keselamatan, keberkahan, dan kemajuan bagi bangsa Indonesia. Biasanya, malam tirakatan juga diisi dengan sambutan dan wejangan dari para sesepuh atau tokoh setempat, kemudian dilanjutkan dengan makan bersama.

Sebentar lagi Tujuhbelasan. Di Kampung Ara sudah banyak perlombaan diadakan sejak awal bulan Agustus lalu. Dari mulai lomba makan kerupuk, tarik tambang, memasukkan pensil ke dalam botol, membawa kelereng dengan sendok, balap karung, dan masih banyak lomba-lomba lainnya yang sangat seru dan menyenangkan. Ara tentu saja dengan semangat empat lima mengikuti hampir semua lomba yang diadakan untuk anak seumurannya. Kalah menang tidak jadi soal, yang penting senang.

Ara baru saja selesai membantu Kak Ria membungkus hadiah ketika dilihatnya Bi Ijah sedang mengeluarkan piring dan gelas dari dalam lemari.

“Mau untuk apa, Bi?” tanya Ara.

“Eh, Neng Ara. Ini mau dipakai untuk acara Malam Tirakatan besok Sabtu, tapi kok sepertinya masih kurang, jadi harus menyewa,” kata Bi Ijah.

“Sewanya di tempat Pak Maman di depan gang itu kan, Bi. Mau Ara bantu pesankan ke sana?”

“Wah, dengan senang hati. Kebetulan Bibi masih harus menyiapkan makanan kecil untuk panitia lomba,” sahut Bi Ijah senang.

“Perkiraan tamu tirakatan ada 100 orang. Karena sudah ada 20 piring dan 35 gelas, jadi kita hanya perlu menyewa 80 piring dan 65 gelas saja.” Bi ijah memberikan selembar uang seratus ribuan kepada Ara. “Jangan lupa minta nota ya, Neng.”

Tak berapa lama kemudian, Ara sudah kembali dengan selembar nota bertuliskan ‘80 piring + 65 gelas = Rp56.250’, dan uang kembalian Rp43.750.

“Ini Bi, sisa uangnya.” Ara memberikan uang kembaliannya kepada Bi Ijah.

“Ternyata kurang, Neng. Baru saja Bu RT mengabari kalau perlu ditambah masing-masing 20 piring dan 20 gelas lagi.” Bi Ijah berkata sambil masih sibuk membuat minum.

“Nggak apa Ara balik lagi, Bi. Dekat, kok,” sahut Ara yang disambut ucapan terima kasih Bi Ijah.

Tak sampai lima belas menit, Ara sudah kembali lagi dengan selembar nota bertuliskan ‘20 piring + 20 gelas = Rp15.000’.

Ara menyerahkan nota kepada Bi Ijah. “Oiya, harga sewa 1 piring dan 1 gelas berapa ya, Neng?” tiba-tiba Bi Ijah bertanya.

“Wah, kok Ara tadi lupa tanya ya, Bi. Tapi bisa Ara hitungkan dari nota yang sudah ada,” jelas Ara.

“Jadi, harga sewa 1 piring Rp500 dan harga sewa 1 gelas Rp250.”

Bi Ijah manggut-manggut mendengar penjelasan Ara. “Bisa dihitung begitu ya, Neng. Pinter bener,” goda Bi Ijah. “Baiklah, nanti biar kalau ada tambahan lagi bisa langsung dihitung anggarannya. Makasi ya, Neng.”

Ara tersenyum senang. Senang bisa membantu, senang juga belajar matematika. ^^

 

***SELESAI***

Ngumbulne Layangan

 

Di Jawa Tengah sedang musim ngumbulne layangan atau menerbangkan layang-layang. Hampir setiap sore, apalagi ketika hari cerah, anak-anak berlarian dengan layang-layang di punggungnya. Mencari tanah lapang untuk ngumbulne layangan. Kalau ada layang-layang yang putus, mereka pun segera beramai-ramai mengejarnya. Awas, ya, hati-hati dengan benang layangan. Bagaimana di tempatmu?

“Bu, Agus mau main layangan sama Budi,” pamit Agus sambil meletakkan tas sekolahnya, bergegas akan mengambil layangannya.

Ibu langsung memegang tangan Agus ketika terburu-buru melewatinya. “Makan dulu!”

Melihat wajah Ibu serius, Agus bergegas ke meja makan tanpa membantah. Mengambil nasi, lauk, dan sayur, lalu duduk manis, makan dengan segera.

“Jangan terburu-buru, nanti tersedak,” kata Ibu sambil duduk di sebelah Agus. Dituangkannya segelas air putih, lalu diletakkan di depan piring Agus.

Agus mengangguk perlahan, lalu mulai mengatur ritme makannya. Mengunyah dengan baik, tidak tergesa. “Oiya, tadi ulangan matematika Agus dapat seratus, Bu.” Agus tersenyum sambil memamerkan giginya yang besar-besar. Di selanya terselip sayur yang belum terkunyah.

Ibu tertawa kecil. Geli karena gigi Agus, ikut senang karena Agus mendapat nilai bagus. “Hebat, tidak sia-sia tiap hari belajar bersama Budi, ya.”

Agus tersenyum malu-malu mendengar gurauan Ibu. Memang benar, Agus setiap hari belajar bersama Budi. Tepatnya belajar sambil bermain.

Ketika seminggu yang lalu Agus pulang sambil menangis, “Bu, Agus kesusahan mengerjakan tugas matematika. Agus nggak bisa. Minggu depan ulangan, Agus mau bolos aja,” kata Agus pada ibunya.

“Lho kenapa? Apa yang susah?” tanya Ibu.

Agus menunjukkan hasil pekerjaannya di sekolah. Pelajaran matematika tentang menghitung luas layang-layang dan belah ketupat.

Ibu membaca sekilas hasil pekerjaan Agus, lalu teringat, biasanya setiap sore Agus akan berpamitan untuk bermain dengan Budi. Ibu mengambil selembar kertas, meteran, dan pensil. Membuat sebuah tabel di kertas tersebut, lalu menunjukkan pada Agus.

“Agus sebentar lagi main dengan Budi?” tanya Ibu yang disambut anggukan Agus. “Lihat tabel ini. Nanti Agus ajak Budi ke lapangan di depan, tempat ramai teman-temanmu bermain layang-layang. Coba, nanti kalau ketemu teman yang membawa layangan, diukur satu per satu, sesuai dengan rumus yang sudah diberi Bu Guru. Lalu cari berapa luasnya. Agus tulis di sini,” jelas Ibu.

“Kayaknya seru, Bu.” Agus bergegas makan siang, lalu mengambil layang-layangnya. Mengukurnya dengan cermat.

Panjang diagonal 1 = d₁ = 30 cm

Panjang diagonal 2 = d₂ = 50 cm

Luas layang-layang = ½ x d₁ x d₂ = ½ x 30 x 50 = 750 cm².

 

“Begini ya, Bu?” Agus selesai menghitung setelah dibantu sedikit oleh Ibu.

“Betul sekali. Sekarang tulis di tabel,” sahut Ibu.

Selesai menulis, Budi datang untuk mengajak Agus bermain. Agus dan Budi berpamitan, lalu segera menuju ke lapangan.

Di lapangan ramai teman-teman Agus berdatangan membawa layangan. Tampak Agus menunjukkan tabel yang dibawanya, lalu mengukur layang-layang temannya yang belum diterbangkan. Hari itu Agus dan Budi sibuk sekali.

Lelah mengukur dan menghitung, Agus dan Budi duduk memandangi banyak layangan berkelok-kelok di angkasa.

Ada beberapa orang dewasa yang sedang mengadu layangan. Agus harus berhati-hati dengan benang layangan untuk aduan, karena sangat tajam. Mereka yang selesai bermain juga dengan sadar membereskan sisa-sisa potongan benang, supaya tidak menjerat pejalan kaki yang melintas di lapangan.

Matahari mulai kemerahan, Agus dan Budi bersiap pulang. Bersemangat Agus hendak menunjukkan hasil hitungannya untuk diperiksa Ibu.

 

**SELESAI** 

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma, Materi Kelas X

Perkalian dalam matematika sudah kita pelajari sejak kelas dasar. Operasi perkalian yang berulang dengan bilangan yang sama bisa kita sederhanakan dengan bentuk perpangkatan. Bentuk pangkat ini pun selanjutnya bisa "dimainkan" di pangkatnya. Jika dijumpai pangkat dalam bentuk pecahan, maka kita akan ketemu dengan bentuk akar. Jika akan mencari kebalikan dari perpangkatan, maka ketemulah kita dengan logaritma.. ^^ 

Apa sih bentuk pangkat, akar, dan logaritma itu?

Bentuk pangkat atau eksponen adalah cara untuk menyederhanakan perkalian berulang dari suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri.

Akar adalah cara lain untuk menyatakan bilangan berpangkat, terutama ketika hasilnya berupa bilangan irasional atau bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sederhana.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari perpangkatan atau eksponen.

 

A. BENTUK PANGKAT

Eksponen, atau bilangan berpangkat, adalah cara untuk menunjukkan berapa kali suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri.

Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku:

B. BENTUK AKAR

Untuk setiap a dan b bilangan positif, berlaku:

a.   Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1.   Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk a, b, dan c bilangan rasional positif, berlaku:

2.    Perkalian 

b.     Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

C.  SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Setelah tahu sifat-sifat yang berlaku dalam bentuk pangkat, akar, dan logaritma, selanjutnya coba-cobalah diaplikasikan di soal-soalnya.. Seru, lho.. ^^